Hình 1: Tích phân trên vùng có hình tam giác có thể được thực hiện bằng các dải dọc hoặc ngang như bước đầu tiên. Đây là một phép chiếu thẳng đứng, nhìn xuống trục z trên mặt phẳng x-y. Đường xiên là đường cong y = x.

Xét tích phân lặp

∫ a z ∫ a x h ( y ) d y d x   {\displaystyle \int _{a}^{z}\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy\,dx\ } ,

mà chúng ta sẽ viết bằng cách sử dụng ký hiệu tiền tố thường gặp trong vật lý:

∫ a z d x ∫ a x h ( y ) d y {\displaystyle \int _{a}^{z}dx\,\int _{a}^{x}\,h(y)\,dy} .

Trong biểu thức này, tích phân thứ hai được tính trước trên y và x được coi là hằng số không đổi - một dải có chiều rộng dx được tích phân đầu tiên theo hướng y (một dải có chiều rộng dx theo hướng x được tích phân theo biến y trên phương y), thêm tổng vô hạn các hình chữ nhật có chiều rộng dy dọc theo trục y. Điều này tạo nên một lát cắt dx rộng 3 chiều dọc theo trục x, từ y=a đến y=x dọc theo trục y, và theo hướng  z với z=f(x,y). Chú ý rằng nếu dx có độ dày là vô cùng nhỏ thì x chỉ thay đổi vô cùng nhỏ trên lát cắt.[3] Tích phân này giống như hình hiển thị tại khung trái của hình 1, nhưng là đặc biệt bất tiện là khi hàm h (y) không dễ dàng lấy tích phân. Tích phân có thể được quy về một tích phân đơn bằng cách đảo ngược trật tự của phép lấy tích phân như trong bảng bên phải của hình. Để thực hiện việc hoán đổi các biến này, các dải rộng dy được tích phân trước từ đường thẳng x = y đến giới hạn x = z, rồi sau đó kết quả sẽ được lấy tích phân từ y = a đến y = z, kết quả là:

Không thể phân tích cú pháp (lỗi cú pháp): {\displaystyle \int_a^z \ dx\ \int_a^x \ h(y) \ dy \ = \int_a^z \ h(y)\ dy \ \ \int_y^z \ dx = \int_a^z \ \left(z-y\right) h(y)\, dy \.}

Kết quả này có thể được coi là một ví dụ về công thức tích phân từng phần, như đã phát biểu dưới đây:[4]

∫ a z f ( x ) g ′ ( x ) d x = [ f ( x ) g ( x ) ] a z − ∫ a z f ′ ( x ) g ( x ) d x {\displaystyle \int _{a}^{z}f(x)g'(x)\,dx=\left[f(x)g(x)\right]_{a}^{z}-\int _{a}^{z}f'(x)g(x)\,dx\!}

Thế:

Không thể phân tích cú pháp (MathML hoặc SVG/PNG (khuyến khích các trình duyệt và công cụ trợ năng hiện đại): Phản hồi không hợp lệ (“Math extension cannot connect to Restbase.”) từ máy chủ “/mathoid/local/v1/”:): {\displaystyle f (x) = \int_a^x \ h(y)\, dy \text{ and }g'(x) = 1 \. }

Từ đó ta có kết quả.